ガンマ関数と階乗の関係
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、以下が成り立つ。
\[ \Gamma(n+1)=n! \]
\begin{align*} \Gamma(n+1) & =\Gamma(1)\prod_{k=1}^{n}k\\ & =n! \end{align*}
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タイトル | ガンマ関数と階乗の関係 |
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第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[
\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt
\]
偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\tan^{-1}(\pi z)
\]