ガンマ関数と階乗の関係
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、以下が成り立つ。
\[ \Gamma(n+1)=n! \]
\begin{align*} \Gamma(n+1) & =\Gamma(1)\prod_{k=1}^{n}k\\ & =n! \end{align*}
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タイトル | ガンマ関数と階乗の関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/tpc82pia/ |
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- ガウスの乗法公式\[ \Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right) \]
- ガンマ関数の1/2値\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]
- 階乗と階乗の逆数の母関数\[ \frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right) \]
- ガンマ関数の半整数値\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \]