ガンマ関数と階乗の関係
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、以下が成り立つ。
\[ \Gamma(n+1)=n! \]
\begin{align*} \Gamma(n+1) & =\Gamma(1)\prod_{k=1}^{n}k\\ & =n! \end{align*}
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タイトル | ガンマ関数と階乗の関係 |
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- 階乗と階乗の逆数の母関数\[ \frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right) \]
- ガンマ関数の無限乗積\[ \Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1) \]
- 1次式の総乗と階乗\[ \prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)} \]
- ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式\[ \psi(1-z)-\psi(z)=\pi\tan^{-1}(\pi z) \]
- ガンマ関数の相反公式\[ \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z) \]