ガンマ関数と階乗の関係
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、以下が成り立つ。
\[ \Gamma(n+1)=n! \]
\begin{align*} \Gamma(n+1) & =\Gamma(1)\prod_{k=1}^{n}k\\ & =n! \end{align*}
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タイトル | ガンマ関数と階乗の関係 |
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負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\tan^{-1}(\pi z)
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示とテイラー展開
\[
\psi(z) =-\gamma-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k+1}\right)
\]