ガンマ関数の半整数値
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \](2)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \](1)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)Q\left(\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(1-\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)\\ & =\Gamma^{-1}\left(\frac{1}{2}+n\right)\frac{\pi}{\sin\left(\pi\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)}\\ & =(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{-n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=-n}^{-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}-k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)P^{-1}\left(-\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(-1)^{n}2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の半整数値 |
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ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[
\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right)
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]