距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A\]
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\]
2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係
実数全体の集合は完備距離空間
距離空間では点列の収束先は一意的
距離空間での開集合と点列の収束
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon\]
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば正規空間
点と集合との距離の関係
\[d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}\]
集合同士が交わるならば距離は0
\[A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0\]
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} \]
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値
ルベーグの被覆補題
\[\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U\]
距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間では連続と点列連続は同値
開球同士が交わるときの包含関係
\[B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)\]
収束列と閉集合・閉包・稠密との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
距離空間での完備と閉集合の関係
点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
コーシー列と部分列の収束
コーシー列と部分列の収束
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。