実数論 2024年4月16日 項別積分と項別微分 \[ \sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx \]
実数論 2024年4月15日 極限と積分・微分の順序変更 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \]
実数論 2024年4月9日 一様コーシー列の定義 \[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \]
実数論 2024年4月8日 各点収束と一様収束と広義一様収束の定義 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \]
実数論 2023年12月30日 実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義 \[ \left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x \]
実数論 2023年12月29日 チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係 \[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} \]
実数論 2023年12月27日 級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在 \[ \exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a \]
実数論 2023年12月24日 上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係 \[ \left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right) \]
実数論 2023年12月23日 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積 \[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]
実数論 2023年12月21日 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和 \[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]
実数論 2023年12月20日 極限と上極限・下極限との関係 \[ \exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right) \]
実数論 2023年12月18日 上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍 \[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \]
実数論 2023年12月17日 上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係 \[ \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \]
実数論 2023年12月12日 実数列の上極限と下極限の定義 \[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \]