整除関係の基本的な値
\[\forall a\in\mathbb{Z},\pm1\mid a\]
整徐関係と半順序関係
整徐関係の定義
\[\exists n\in\mathbb{Z},a=bn\rightarrow b\mid a\]
有向集合と有向点列の定義
\[\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
ツォルンの補題
帰納的順序集合$\left(X,\preceq\right)$は極大元をもつ。
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}\]
[word]数式オートコレクトのバックアップ・移行方法
無限集合は可算無限部分集合をもつ
選択関数と選択公理の定義
\[\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset\]
超限帰納法
\[P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\]
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
整列集合の基本的な性質
\[X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset\]
切片の定義
\[X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\} \]
整列集合の順序同型は一意的
整列集合の比較定理
整列性と整列集合の定義と性質
順序写像かつ単射の性質
\[\forall a,b\in X,a\precneqq b\rightarrow f\left(a\right)\precneqq\left(b\right)\]
実数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
有界単調数列の収束定理
数列が収束するならば有界
上限定理・下限定理
移動しました。
デデキント切断の定義
\[a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b\]
半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序
\[\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right)\]