(1)

順序を通常の大小関係とすると、自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)は整列集合であるが、整数全体の集合\(\mathbb{Z}\)や有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)や実数全体の集合\(\mathbb{R}\)は整列集合でない。

(2)

全体集合を\(\mathbb{N}\cup\left\{ \omega\right\} \)として自然数同士は通常の大小関係を入れて自然数と\(\omega\)では常に\(\omega\)のほうが大きいとすると\(\left(\mathbb{N}\cup\left\{ \omega\right\} ,\preceq\right)\)は整列集合となる。
この整列集合\(\left(\mathbb{N}\cup\left\{ \omega\right\} ,\preceq\right)\)は次のようになる。
\[ 1\prec2\prec3\prec\cdots\prec\omega \]

(3)

自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)に奇数同士、偶数同士では通常の大小関係を入れて奇数と偶数では常に偶数のほうが大きいとすると\(\left(\mathbb{N},\preceq\right)\)は整列集合となる。
この整列集合\(\left(\mathbb{N},\preceq\right)\)は次のようになる。
\[ 1\prec3\prec5\prec\cdots\preceq2\prec4\prec6\prec\cdots \]