整列集合の定義
整列集合の定義
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)の任意の空でない部分集合が最小元を持つとき\(\left(X,\preceq\right)\)を整列集合という。
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)の任意の空でない部分集合が最小元を持つとき\(\left(X,\preceq\right)\)を整列集合という。
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全順序集合で最小元を持っても整列集合とは限らない。例えば\(X=\left[0,1\right]\)として通常の大小関係をとると、全順序集合となり、全体集合\(X\)では最小元は\(0\)であるが、部分集合\(\left(0,1\right)\subseteq X\)の最小元は存在しないので整列集合とはならない。
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整列集合の定義の全順序集合を半順序集合にしてもいい。何故なら、任意の元\(a,b\in X\)をとると整列集合なので\(\left\{ a,b\right\} \)は最小元をもつ。
従って\(a\preceq b\lor b\preceq a\)が成り立つので全順序集合となるからである。
順序を通常の大小関係とすると、自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)は整列集合であるが、整数全体の集合\(\mathbb{Z}\)や有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)や実数全体の集合\(\mathbb{R}\)は整列集合でない。
ページ情報
| タイトル | 整列集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vh6cs0vl/ |
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半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序
\[
\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right)
\]
上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
\[
\min U=\sup A
\]
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]