整列集合の定義

by nomura · 2023年10月20日

整列集合の定義
全順序集合$\left(X,\preceq\right)$の任意の空でない部分集合が最小元を持つとき$\left(X,\preceq\right)$を整列集合という。

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全順序集合で最小元を持っても整列集合とは限らない。
例えば$X=\left[0,1\right]$として通常の大小関係をとると、全順序集合となり、全体集合$X$では最小元は$0$であるが、部分集合$\left(0,1\right)\subseteq X$の最小元は存在しないので整列集合とはならない。

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整列集合の定義の全順序集合を半順序集合にしてもいい。
何故なら、任意の元$a,b\in X$をとると整列集合なので$\left\{ a,b\right\} $は最小元をもつ。
従って$a\preceq b\lor b\preceq a$が成り立つので全順序集合となるからである。

(1)

順序を通常の大小関係とすると、自然数全体の集合$\mathbb{N}$は整列集合であるが、整数全体の集合$\mathbb{Z}$や有理数全体の集合$\mathbb{Q}$や実数全体の集合$\mathbb{R}$は整列集合でない。

(2)

全体集合を$\mathbb{N}\cup\left\{ \omega\right\} $として自然数同士は通常の大小関係を入れて自然数と$\omega$では常に$\omega$のほうが大きいとすると$\left(\mathbb{N}\cup\left\{ \omega\right\} ,\preceq\right)$は整列集合となる。
この整列集合$\left(\mathbb{N}\cup\left\{ \omega\right\} ,\preceq\right)$は次のようになる。
\[ 1\prec2\prec3\prec\cdots\prec\omega \]

(3)

自然数全体の集合$\mathbb{N}$に奇数同士、偶数同士では通常の大小関係を入れて奇数と偶数では常に偶数のほうが大きいとすると$\left(\mathbb{N},\preceq\right)$は整列集合となる。
この整列集合$\left(\mathbb{N},\preceq\right)$は次のようになる。
\[ 1\prec3\prec5\prec\cdots\preceq2\prec4\prec6\prec\cdots \]

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タイトル	整列集合の定義
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上方集合と下方集合の定義

\[ \forall x\in A,\forall y\in X,x\preceq y\rightarrow y\in A \]

順序写像かつ単射の性質

\[ \forall a,b\in X,a\precneqq b\rightarrow f\left(a\right)\precneqq\left(b\right) \]

テューキーの補題

有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。

順序を反映する写像(順序単射)ならば単射