選択公理は有限個のものを選ぶとき、つまり選択関数\(f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},\lambda\mapsto f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\)の始域\(\Lambda\)が有限集合\(\left|\Lambda\right|<\infty\)のときは\(A_{\lambda}\)の濃度に関わらず、選択公理を認めなくても各\(A_{\lambda}\)から選択することができます。

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選択公理の逆、すなわち、
\[ \forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\Leftarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset \] は常に成り立ちます。
これを示します。
選択公理の逆の対偶をとると、
\[ \exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}=\emptyset\Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset \] となり、直積集合は
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\lambda\in\Lambda,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \] なので、ある\(\lambda_{0}\in\Lambda\)が存在し、\(A_{\lambda}=\emptyset\)ならば、\(f\left(\lambda_{0}\right)\in A_{\lambda_{0}}=\emptyset\)が偽となり写像\(f\)が存在しないので\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset\)となる。
従って対偶が示されたので、選択公理の逆は成り立つ。

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選択公理は以下の定理と同値である。
・整列可能定理
・ツォルンの補題
・テューキーの補題
・比較可能定理
・直積定理
・右逆写像の存在
・ケーニッヒの定理
・ベクトル空間における基底の存在
・チコノフの定理
・クルルの定理