選択関数と選択公理の定義

選択関数と選択公理の定義

(1)選択関数

空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)に写像\(f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},\lambda\mapsto f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\)となる写像\(f\)を選択関数という。
言い換えると、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の各要素である集合から1つずつ要素を選んで新しい集合を作る写像である。

(2)選択公理

任意の空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)に選択関数が存在するという公理を選択公理という。
または、任意の空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積は空集合ではないと同値である。
式で書くと、
\[ \forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset \] となる。
選択公理は以下の定理と同値である。
・整列可能定理
・ツォルンの補題
・テューキーの補題
・比較可能定理
・直積定理
・右逆写像の存在
・ケーニッヒの定理
・ベクトル空間における基底の存在
・チコノフの定理
・クルルの定理

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タイトル
選択関数と選択公理の定義
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https://www.nomuramath.com/q2t2qmzr/
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