選択関数と選択公理の定義

(1)選択関数

空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)に写像\(f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},\lambda\mapsto f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\)となる写像\(f\)を選択関数という。
言い換えると、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の各要素である集合から1つずつ要素を選んで新しい集合を作る写像である。

(2)選択公理

任意の空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)に選択関数が存在するという公理を選択公理という。
または、任意の空集合を要素に持たない集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積は空集合ではないと同値である。
式で書くと、
\[ \forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset \] となる。