(1)

反射律

\(a\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、\(a=1\times a\)なので\(a\mid a\)となり反射率を満たす。

反対称律

\(a,b\in\mathbb{N}_{0}\)として、\(a\mid b\land b\mid a\)を満たすとする。
まず\(a,b\)のどちらかが0の場合を考える。
\(a=0\)とすると、\(0\mid b\)が成り立つためには\(b=0\)となるので\(a=b\)となる。
同様に\(b=0\)とすると、\(a=b\)となる。
次に\(a\ne0\land b\ne0\)の場合を考える。
このとき、ある\(m,n\in\mathbb{N}\)が存在し\(b=ma\)かつ\(a=nb\)となる。
\(m,n\)がどちらも0でないので、\(a=mna\land b=mnb\)となり、\(mn=1\)となり、\(0<a\)なので\(m=n=1\)となるので、\(a=b\)となる。
これより、\(a\mid b\land b\mid a\rightarrow a=b\)なので反射律を満たす。

推移律

\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)として、\(a\mid b\land b\mid c\)を満たすとする。
このとき、ある\(m,n\in\mathbb{N}_{0}\)が存在し\(b=ma\)かつ\(c=nb\)となるので、\(c=mna\)となるので\(a\mid c\)となる。
従って、\(a\mid b\land b\mid c\rightarrow a\mid c\)となるので推移律を満たす。

-

これらより、反射律・反対称律・推移律を満たすので半順序関係となる。

最大元・極大元・最小元・極小元

任意の非負整数\(a\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、\(1\cdot a=a\)となる。
これより、\(1\mid a\)が成り立つので\(1\)は最小元、極小元となる。
また、任意の非負整数\(a\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、\(a\cdot0=0\)となる。
これより、\(a\mid0\)が成り立つので\(0\)は最大元、極大元となる。

全順序関係は満たさない。

また\(2\mid3\)も\(3\mid2\)も満たさないので全順序関係は満たさない。

(2)

(1)と同様にすればいい。

(3)

(1)と同様にすればいい。

(4)

\(-1,1\in\mathbb{Z}\)であるが、\(-1\mid1\land1\mid-1\nrightarrow1=-1\)なので反対称律を満たさない。
従って\(\mathbb{Z}\)上では半順序関係とならない。