級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a\]
チェザロ総和とチェザロ平均の定義
\[m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[\forall x\in I,0\leq f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\Rightarrow\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in I}g\left(x\right)\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right)\]
極限と上極限・下極限との関係
\[\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[\sup_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases}c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\0 & c=0\end{cases}\]
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
\[\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)\]
上極限・下極限は存在
単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在
実関数・実数列の上極限と下極限の定義
\[\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right):=\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\]
オプション価格の2項1期間モデル
\[C\left(0\right)=\frac{1}{r}\left(p_{u}C_{u}+p_{d}C_{d}\right)\]
CAPMの証明
\[\beta_{A}=\rho_{AM}\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{M}}\]
トービンの分離定理の解説
\[\sigma\left[w_{A}R_{A}+w_{B}R_{B}\right]\leq w_{A}\sigma_{A}+w_{B}\sigma_{B}\]
割引配当による理論株価
\[P=\frac{a}{r}\]
株価とマーケットポートフォリオからベータ値を求める
早期権利行使は損
早期権利行使はせずにその権利を売るほうが得をする。
オプション取引の解説
金融関係の色々な定義
破産確率
\[\begin{cases}\frac{\left(\frac{p}{q}\right)^{b}-1}{\left(\frac{p}{q}\right)^{a+b}-1} & p\ne\frac{1}{2}\\\frac{b}{a+b} & p=\frac{1}{2}\end{cases}\]
運用による資産推移
\[x=\begin{cases}\left(x_{0}+\frac{b}{\log a}\right)a^{t}-\frac{b}{\log a} & a\ne1\\x_{0}+bt & a=1\end{cases}\]