数列が収束するならば有界

\(\Rightarrow\)

数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\)に収束するとする。
このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \] となるので、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)のとき、\(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\)より\(a-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon\)となるので\(a_{n}\)は有界となる。
また、\(n<N\)のときは、\(\min\left\{ a_{n}\right\} _{n<N}\leq a_{n}\leq\max\left\{ a_{n}\right\} _{n<N}\)となるので\(a_{n}\)は有界となる。
これより、任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対し、\(\min\left\{ \min\left\{ a_{n}\right\} _{n<N},a-\epsilon\right\} \leq a_{m}\leq\max\left\{ \max\left\{ a_{n}\right\} _{n<N},a+\epsilon\right\} \)となるので\(a_{m}\)は有界となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(a_{n}=\left(-1\right)^{n}\)とすると有界であるが収束しない。
故に逆は一般的に成り立たない。