集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義

by nomura · 2023年11月4日

集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義

(1)集合族の有限性

集合族$\mathcal{A}$が
\[ A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A} \] となるとき$\mathcal{A}$は有限性をもつという。

(2)鎖(チェイン)

半順序集合$\left(X,\preceq\right)$の部分集合$C\subseteq X$が$\preceq$に関して全順序となるとき、すなわち全順序部分集合$\left(C,\preceq\right)$となるとき、$C$は$X$の鎖(チェイン)という。

(3)帰納的順序集合

半順序集合$\left(X,\preceq\right)$の任意の鎖$C$が$X$に上界をもつとき$\left(X,\preceq\right)$を帰納的順序集合という。

集合族$\mathcal{A}$が有限性をもつとき、$\mathcal{A}=\emptyset$または$\emptyset\in\mathcal{A}$となる。
なぜなら$\mathcal{A}\ne\emptyset$のとき、
\begin{align*} \mathcal{A}\ne\emptyset & \Leftrightarrow\exists A,A\in\mathcal{A}\\ & \Leftrightarrow\exists A,\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}\\ & \Rightarrow\exists A,\emptyset\subseteq A,\left|\emptyset\right|<\infty\rightarrow\emptyset\in\mathcal{A}\\ & \Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{A} \end{align*} となるので、$\mathcal{A}=\emptyset$または$\emptyset\in\mathcal{A}$となる。

-

集合族の有限性で$\Rightarrow$が成り立っているが$\Leftarrow$が成り立ってない例は、$\mathcal{A}=\left\{ X;X\in2^{\mathbb{N}},\left|X\right|<\infty\right\} $とすると、$\Rightarrow$は成り立っているが$A=\mathbb{N}$や$A=\mathbb{N}\setminus\left\{ 1\right\} $とすると右辺は成り立つが$A\notin\mathcal{A}$なので$\Leftarrow$は成り立っていない。

(1)

$\left\{ \emptyset\right\} $は有限性を持つ。
$2^{\mathbb{N}}\text{は}$有限性を持つ
集合$A$があるとき、$2^{A}$は有限性を持つ。
集合$A,B$があるとき、$2^{A}\cup2^{B}$は有限性を持つ。
$\left\{ A;A\in2^{\mathbb{N}},\left|A\right|<\infty\right\} \text{は}$有限性を持たない。
$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} $は有限性を持つ。
$\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} $は有限性を持つ。
$\left\{ \left\{ \left\{ a,b\right\} ,c\right\} ,\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} $は有限性を持つ
$\left\{ \left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} $は有限性を持つ。
$\left\{ \left\{ \left\{ a,b\right\} ,c\right\} ,\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} $は有限性を持つ。

(2)

集合族$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $に大小関係を包含関係$\subseteq$とすると$\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\subseteq\right)$は半順序集合となる。
このとき、部分集合$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \subseteq\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $をとると$\subseteq$に関して全順序部分集合$\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\subseteq\right)$となるので$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $は$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $の鎖となる。

(3)

$\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\subseteq\right)$の鎖は$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ a\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ b\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} $であるが、どれも上界を持つので帰納的順序集合となる。
$\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} ,\subseteq\right)$の鎖は$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ a\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} $と$\left\{ \left\{ b,c\right\} \right\} $であるが、どれも上界を持つので帰納的順序集合となる。
$\left(\left[0,1\right],\leq\right)$は帰納的順序集合である。
$\left(\left(0,1\right),\leq\right)$は全順序集合$\left(0,1\right)$は全体集合$\left(0,1\right)$上に上界が存在しないので帰納的順序集合でない。
有限半順序集合は大小関係を包含関係$\subseteq$とすると帰納的順序集合である。

ページ情報

タイトル	集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
URL	https://www.nomuramath.com/qru62fi6/
SNSボタン

テューキーの補題

有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。

ツォルンの補題

帰納的順序集合$\left(X,\preceq\right)$は極大元をもつ。

デデキント切断の定義

\[ a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b \]

超限帰納法

\[ P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right) \]