(1)

\(A\)の上界全体の集合を\(B\)とする。
\(B\)は空集合ではないので、任意の\(a_{1}\in A,b_{1}\in B\)をとり、
\[ c_{1}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2} \] とする。
ここで、\(a_{2},b_{2}\)を
\[ \begin{cases} a_{2}=a_{1},b_{2}=c_{1} & c_{1}\in B\\ a_{2}=c_{1},b_{2}=b_{1} & c_{1}\notin B \end{cases} \] として、以下同様に\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を決める。
そうすると、
\[ a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{n}<b_{n}\leq\cdots\leq b_{2}\leq b_{1} \] となり、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)はコーシー列となり実数の完備性より収束する。
また、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n-1}}=0 \] となるので、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の極限値も等しくなるのでその極限値を\(\alpha\)とおく。
\(b_{n}\)は常に\(b_{n}\in B\)なので任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq b_{n}\)となるので\(x\leq\alpha\)となる。
これより、\(\alpha\in B\)となる。
また任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(\alpha-\epsilon<a_{n}<\alpha\)となる\(a_{n}\)が存在するが、\(a_{n}\)は常に\(a_{n}\notin B\)なので\(\alpha-\epsilon\notin B\)となる。
これより、\(\alpha\)は\(B\)の最小値となる。
故に\(\alpha\in B\)であり\(\alpha=\min B\)なので\(\alpha\)は\(A\)の上限となる。

(2)

(1)と同様にする。