有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)の任意のデデキント切断\(\left(A,B\right)\)について\(A\)に最大元が存在するかしないかで2通り、\(B\)に最小元が存在するかしないかで2通りで合計4通りあるが、(1)は起こらないので(2)(3)(4)のうちどれかを満たす。
有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)の任意のデデキント切断\(\left(A,B\right)\)について\(A\)に最大元が存在するかしないかで2通り、\(B\)に最小元が存在するかしないかで2通りで合計4通りあるが、(1)は起こらないので(2)(3)(4)のうちどれかを満たす。
(1)
\(A\)に最大元、\(B\)に最小元がある。(2)
\(A\)には最大元があるが、\(B\)には最小元がない。(3)
\(A\)には最大元がないが、\(B\)には最小元がある。(4)
\(A\)に最大元がなく、\(B\)にも最小元がない。(1)
\(\max A\)と\(\min B\)が存在すると仮定する。このとき、デデキント切断なので\(\max A<\min B\)となるが、\(c=\frac{\max A+\min B}{2}\)とおくと、\(c\in\mathbb{Q}\)であるが、\(\max A<c<\min B\)となる。
これより、\(\max A<c\)より、\(c\notin A\)となり、\(c<\min B\)より、\(c\notin B\)となるので、\(c\notin A\cup B=\mathbb{Q}\)となり矛盾。
故に\(A\)に最大元、\(B\)に最小元があることはない。
(2)
例で示す。\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a\leq1\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};1<b\right\} \]
(3)
例で示す。\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a<1\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};1\leq b\right\} \]
(4)
例で示す。\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a<\sqrt{2}\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<b\right\} \]
ページ情報
| タイトル | 有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元 |
| URL | https://www.nomuramath.com/txz3pbw4/ |
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