有界単調数列は収束する
有界単調数列は収束する
実数の単調増加数列が上に有界ならばこの数列は収束する。
同様に実数の単調減少数列が下に有界ならばこの数列は収束する。
実数の単調増加数列が上に有界ならばこの数列は収束する。
同様に実数の単調減少数列が下に有界ならばこの数列は収束する。
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有理数では成り立たない。例えば数列\(a_{n}=\sqrt{2}-\frac{1}{2^{n}}\)は単調増加数列で上に有界であるが\(\sqrt{2}\)は有理数ではないので収束しない。
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数列が収束するならば有界であるので逆「実数の単調増加数列が収束するならば上に有界である。」も成り立つ。単調増加数列を\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると、上に有界なので上限定理より、\(\sup\left\{ a_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が存在する。
\(\sup\left\{ a_{n}\right\} \)の性質より、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(\sup\left\{ a_{n}\right\} -\epsilon<a_{N}\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} \)となる。
これより、\(0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{N}<\epsilon\)となるが、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調増加数列なので、\(N\leq n_{0}\Rightarrow0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{n_{0}}<\epsilon\)となる。
これは\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sup\left\{ a_{n}\right\} \)を表している。
故に題意は成り立つ。
\(\sup\left\{ a_{n}\right\} \)の性質より、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(\sup\left\{ a_{n}\right\} -\epsilon<a_{N}\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} \)となる。
これより、\(0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{N}<\epsilon\)となるが、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調増加数列なので、\(N\leq n_{0}\Rightarrow0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{n_{0}}<\epsilon\)となる。
これは\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sup\left\{ a_{n}\right\} \)を表している。
故に題意は成り立つ。
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単調減少数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の場合は数列を\(\left(-a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)と考えれば単調増加数列となり、同様に考えることができる。ページ情報
タイトル | 有界単調数列は収束する |
URL | https://www.nomuramath.com/f3taf52o/ |
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数列が収束するならば有界
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]
単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。