単調増加数列を\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると、上に有界なので上限定理より、\(\sup\left\{ a_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が存在する。
\(\sup\left\{ a_{n}\right\} \)の性質より、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(\sup\left\{ a_{n}\right\} -\epsilon<a_{N}\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} \)となる。
これより、\(0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{N}<\epsilon\)となるが、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調増加数列なので、\(N\leq n_{0}\Rightarrow0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{n_{0}}<\epsilon\)となる。
これは\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sup\left\{ a_{n}\right\} \)を表している。
故に題意は成り立つ。

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単調減少数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の場合は数列を\(\left(-a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)と考えれば単調増加数列となり、同様に考えることができる。