整除関係の基本的な値
整除関係の基本的な値
(1)
\[ \forall a\in\mathbb{Z},\pm1\mid a \](2)
\[ \forall a\in\mathbb{Z},a\mid0 \](3)
\[ a\mid1\leftrightarrow a=\pm1 \](4)
\[ 0\mid a\leftrightarrow a=0 \](1)
任意の整数\(a\in\mathbb{Z}\)に対し\(a=\pm1\cdot\pm a\)となるので\(\pm1\mid a\)となる。故に題意は成り立つ。
(2)
任意の整数\(a\in\mathbb{Z}\)に対し、\(0=a\cdot0\)となるので\(a\mid0\)となる。故に題意は成り立つ。
(3)
\(\Rightarrow\)
\(a\mid1\)ならば、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(1=a\cdot n\)を満たす。このとき、\(a=n=1\)または\(a=n=-1\)のみなので、\(a=\pm1\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
\(a=\pm1\)ならば、\(1=\left(\pm1\right)a\)となるので\(a\mid1\)を満たす。従って、\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。(4)
\(\Rightarrow\)
\(0\mid a\)のとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(a=0\cdot n\)を満たす。これを満たすのは\(a=0\)のみである。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
\(a=0\)ならば、任意の\(n\in\mathbb{Z}\)に対し、\(a=n\cdot0\)となるので\(0\mid a\)を満たす。従って、\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 整除関係の基本的な値 |
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整除関係の性質
\[
a\mid b\land b\mid a\leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|
\]
整除関係と大小関係
\[
\forall a,b\in\mathbb{N},a\mid b\rightarrow a\leq b
\]
整徐関係と半順序関係
整徐関係の定義
\[
\exists n\in\mathbb{Z},a=bn\rightarrow b\mid a
\]