整列集合の基本的な性質
整列集合の基本的な性質
整列集合\(\left(X,\preceq\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)について以下が成り立つ。
整列集合\(\left(X,\preceq\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)について以下が成り立つ。
(1)
\[ X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset \](2)
\[ \forall a,b\in X,b\prec a\rightarrow X\left\langle a\right\rangle \left\langle b\right\rangle =X\left\langle b\right\rangle \](1)
\(X\left\langle \min X\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec\min X\right\} \)となるが\(x\prec\min X\)を満たす\(x\)は存在しないので与式は成り立つ。(2)
\(b\prec a\)のとき\(X\left\langle a\right\rangle \left\langle b\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\} \left\langle b\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\land x\prec b\right\} =\left\{ x\in X;x\prec b\right\} =X\left\langle b\right\rangle \)なので与式は成り立つページ情報
| タイトル | 整列集合の基本的な性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ngollmaz/ |
| SNSボタン |
上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
\[
\min U=\sup A
\]
整列集合の定義
順序写像かつ単射の性質
\[
\forall a,b\in X,a\precneqq b\rightarrow f\left(a\right)\precneqq\left(b\right)
\]
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[
A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}
\]