全順序集合での順序写像・順序単射と全単射
有向集合と有向点列の定義
\[\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
ツォルンの補題
帰納的順序集合$\left(X,\preceq\right)$は極大元をもつ。
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}\]
超限帰納法
\[P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\]
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
整列集合の基本的な性質
\[X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset\]
切片の定義
\[X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\} \]
整列集合の順序同型は一意的
整列集合の比較定理
整列性と整列集合の定義と性質
順序写像かつ単射の性質
\[\forall a,b\in X,a\precneqq b\rightarrow f\left(a\right)\precneqq\left(b\right)\]
デデキント切断の定義
\[a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b\]
半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序
\[\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right)\]
半順序集合と狭義半順序集合の関係
半順序関係と狭義半順序関係
\[x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\]
上方集合と下方集合の定義
\[\forall x\in A,\forall y\in X,x\preceq y\rightarrow y\in A\]
部分順序集合
\[b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}\]