上方集合と下方集合の定義
上方集合と下方集合の定義
\(\left(X,\preceq\right)\)を半順序集合として部分集合\(A\subseteq X\)は空集合でないとする。
\(\left(X,\preceq\right)\)を半順序集合として部分集合\(A\subseteq X\)は空集合でないとする。
(1)上方集合
任意の\(x\in A,y\in X\)に対し、\(x\preceq y\Rightarrow y\in A\)となるとき、すなわち\(\forall x\in A,\forall y\in X\),\(x\preceq y\rightarrow y\in A\)となるとき、\(A\)を上方集合という。(2)下方集合
任意の\(x\in A,y\in X\)に対し、\(y\preceq x\Rightarrow y\in A\)となるとき、すなわち\(\forall x\in A,\forall y\in X\),\(y\preceq x\rightarrow y\in A\)となるとき、\(A\)を下方集合という。半順序集合\(\left(X,\subseteq\right)\)を\(X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} \)として順序を包含関係\(\subseteq\)とすると、\(A=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} \)は上方集合となる。
ページ情報
タイトル | 上方集合と下方集合の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/asc916tz/ |
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テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
整列集合の基本的な性質
\[
X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
\]
切片の定義
\[
X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
\]