上方集合と下方集合の定義
\(\left(X,\preceq\right)\)を半順序集合として部分集合\(A\subseteq X\)は空集合でないとする。

(1)上方集合

任意の\(x\in A,y\in X\)に対し、\(x\preceq y\Rightarrow y\in A\)となるとき、すなわち\(\forall x\in A,\forall y\in X\),\(x\preceq y\rightarrow y\in A\)となるとき、\(A\)を上方集合という。

(2)下方集合

任意の\(x\in A\)に対し、\(y\preceq x\Rightarrow y\in A\)となるとき、すなわち\(\forall x\in A,\forall y\in X\),\(y\preceq x\rightarrow y\in A\)となるとき、\(A\)を下方集合という。