無限集合は可算無限部分集合をもつ
無限集合は可算無限部分集合をもつ。
ただし選択公理を認めるとする。
無限集合は可算無限部分集合をもつ。
ただし選択公理を認めるとする。
無限集合を\(A\)とする。
このとき選択公理より\(a_{n}\)を\(a_{n}\in A\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}\left\{ a_{k}\right\} \)と選ぶと、\(\left\{ a_{1},a_{2},\cdots\right\} =\left\{ a_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)は可算無限部分集合となる。
故に題意は成り立つ。
このとき選択公理より\(a_{n}\)を\(a_{n}\in A\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}\left\{ a_{k}\right\} \)と選ぶと、\(\left\{ a_{1},a_{2},\cdots\right\} =\left\{ a_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)は可算無限部分集合となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 無限集合は可算無限部分集合をもつ |
| URL | https://www.nomuramath.com/pyftcwbu/ |
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写像・対応の相等の定義
\[
f=g
\]
写像と対応の定義
\[
\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;f\left(x\right)\in Y\right\} =X
\]
像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)
\]
集合列と像・逆像の極限と存在性
極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限らない。