超限帰納法
整列集合\(\left(X,\preceq\right)\)があり、\(X\)の各元\(x\)に命題\(P\left(x\right)\)が与えられてるとする。
このとき、

(a)

\(P\left(\min X\right)\)が真である。

(b)

\(x\)が\(\min X\)以外の元\(x\ne\min X\)のときに、任意の\(a\in X\left\langle x\right\rangle \)に対し\(P\left(a\right)\)が真であるなら\(P\left(x\right)\)も真である。

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の両方が成り立つならば、\(X\)の任意の元\(x\)について\(P\left(x\right)\)は真となる。
また1つの式で表すと、
\[ P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\Rightarrow P\left(x\right) \] が成り立てば任意の\(x\in X\)に対し\(P\left(x\right)\)は真となる。
すなわち、
\[ P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right) \] である。