ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}\]
ガウスの乗法公式
\[\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)\]
sinc関数のn乗広義積分
\[\int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)!}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k)\]
対数関数のn回積分
\[\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!}\]
ガンマ関数の相反公式
\[\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]
ベータ関数の関数等式
\[xB(x,y+1)=yB(x+1,y)\]
ベータ関数になる積分
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)\]
多重対数関数の漸化式
\[Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}\]
多重対数関数の基本的性質
\[\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\]
多重対数関数の定義
\[Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}}\]
2項係数の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}\]
2項係数の微分
\[\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)\]
2項係数の逆数の差分
\[C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)\]
ディクソンの等式
\[\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}\]
2項係数の2乗和
\[ \sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)\]
ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[ \sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)\]
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)\]
2項係数の総和
\[\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}\]
パスカルの法則
\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)\]
2項係数の1項間漸化式
\[ C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)\]
ガンマ関数の極限問題
\[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}\]