ベータ関数になる積分
ベータ関数になる積分
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right) \]
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{t^{x}}{(1+t)^{y}}dt=B(x+1,y-x-1) \]
\[ \int_{-1}^{1}(1+t)^{x}(1-t)^{y}dt=2^{x+y+1}B(x+1,y+1) \]
(1)
\(-1<\Re(x)\quad\land\quad-1<\Re(y)\)\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right) \]
(2)
\(-1<\Re(x)\quad\land\quad1<\Re(y-x)\)\[ \int_{0}^{\infty}\frac{t^{x}}{(1+t)^{y}}dt=B(x+1,y-x-1) \]
(3)
\(-1<\Re(x)\quad\land\quad-1<\Re(y)\)\[ \int_{-1}^{1}(1+t)^{x}(1-t)^{y}dt=2^{x+y+1}B(x+1,y+1) \]
(1)
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt & =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}s^{\frac{x-1}{2}}(1-s)^{\frac{y-1}{2}}ds\qquad,\qquad s=\sin^{2}t\\ & =\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\frac{t^{x}}{(1+t)^{y}}dt & =\int_{0}^{1}s^{y-x-2}(1-s)^{x}ds\qquad,\qquad s=\frac{1}{1+x}\\ & =B(x+1,y-x-1) \end{align*}(3)
\begin{align*} \int_{-1}^{1}(1+t)^{x}(1-t)^{y}dt & =2^{x+y+1}\int_{0}^{1}s^{x}(1-s)^{y}ds\qquad,\qquad s=\frac{1+t}{2}\\ & =2^{x+y+1}B(x+1,y+1) \end{align*}ページ情報
タイトル | ベータ関数になる積分 |
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ベータ関数の微分
\[
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\]
ベータ関数の絶対収束条件
ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\]