ベータ関数とガンマ関数の関係

ベータ関数とガンマ関数の関係

\[ B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

\begin{align*} \Gamma(x) & =\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\\ & =2\int_{0}^{\infty}s^{2x-1}e^{-s^{2}}ds\qquad,\qquad t=s^{2} \end{align*}

より、

\begin{align*} \Gamma(x)\Gamma(y) & =4\int_{0}^{\infty}u^{2x-1}e^{-u^{2}}du\int_{0}^{\infty}v^{2y-1}e^{-v^{2}}dv\\ & =4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}u^{2x-1}v^{2y-1}e^{-(u^{2}+v^{2})}dudv\\ & =4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}r^{2(x+y-1)}\cos^{2x-1}\theta\sin^{2y-1}\theta e^{-r^{2}}rdrd\theta\qquad,\qquad u=r\cos\theta,v=r\sin\theta\\ & =2\int_{0}^{\infty}r^{2(x+y)-1}e^{-r^{2}}dr2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2x-1}\theta\sin^{2y-1}\theta d\theta\\ & =\Gamma(x+y)B(x,y) \end{align*}

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ベータ関数とガンマ関数の関係

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