多重対数関数の定義
多重対数関数
多重対数関数は以下で定義される。
\[ Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}} \]
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タイトル | 多重対数関数の定義 |
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多重対数関数の基本的性質
\[
\Li_{1}(z)=-\log(1-z)
\]
多重対数関数の漸化式
\[
Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}
\]
巾関数と多重対数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}\Li_{n}\left(z\right)dz=\frac{\left(-1\right)^{n}z^{\alpha+1}}{\left(\alpha+1\right)^{n}}\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{k}\left(\alpha+1\right)^{k-1}\Li_{k}\left(z\right)\right)+\frac{z}{\alpha+2}F\left(1,\alpha+2;\alpha+3;z\right)\right\}
\]