多重対数関数の定義
多重対数関数
多重対数関数は以下で定義される。
\[ Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}} \]
多重対数関数は以下で定義される。
\[ Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}} \]
ページ情報
| タイトル | 多重対数関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/n813z3go/ |
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多重対数関数の漸化式
\[
Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}
\]
多重対数関数を含む積分
\[
\int\Li_{n}\left(z\right)dz=\sum_{k=0}^{n-2}\left\{ \left(-1\right)^{n-k}z\Li_{k+2}\left(z\right)\right\} -\left(-1\right)^{n}\left(z-\left(1-z\right)\Li_{1}\left(z\right)\right)+C
\]
指数関数の多重対数関数の積分
\[
\int\Li_{n}\left(e^{z}\right)dz=\Li_{n+1}\left(e^{z}\right)+C
\]
多重対数関数の基本的性質
\[
\Li_{1}(z)=-\log(1-z)
\]