多重対数関数の基本的性質

多重対数関数の基本的性質

(1)

\[ \Li_{s}(0)=0 \]

(2)

\[ \Li_{0}\left(z\right)=\frac{z}{1-z} \]

(3)

\[ \Li_{1}(z)=-\log(1-z) \]

(4)多重対数関数とリーマン・ゼータ関数

\[ \Li_{s}(1)=\zeta(s) \]

(5)多重対数関数とディレクレ・イータ関数

\[ \Li_{s}(-1)=-\eta(s) \]

(1)

\begin{align*} \Li_{s}(0) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{0^{k}}{k^{s}}\\ & =0 \end{align*}

(2)

\begin{align*} \Li_{0}(z) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{0}}\\ & =z\sum_{k=0}^{\infty}z^{k}\\ & =\frac{z}{1-z} \end{align*}

(3)

\begin{align*} \Li_{1}(z) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(z\right)^{k}}{k}\\ & =-\log(1-z) \end{align*}

(4)

\begin{align*} \Li_{s}(1) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1^{k}}{k^{s}}\\ & =\zeta(s) \end{align*}

(5)

\begin{align*} \Li_{s}(-1) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{s}}\\ & =-\eta(s) \end{align*}

ページ情報

タイトル

多重対数関数の基本的性質

URL

https://www.nomuramath.com/oztrkcj4/

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