多重対数関数の基本的性質
多重対数関数の基本的性質
(1)
\[ \Li_{s}(0)=0 \]
(2)
\[ \Li_{0}\left(z\right)=\frac{z}{1-z} \]
(3)
\[ \Li_{1}(z)=-\log(1-z) \]
(4)多重対数関数とリーマン・ゼータ関数
\[ \Li_{s}(1)=\zeta(s) \]
(5)多重対数関数とディレクレ・イータ関数
\[ \Li_{s}(-1)=-\eta(s) \]
(1)
\begin{align*} \Li_{s}(0) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{0^{k}}{k^{s}}\\ & =0 \end{align*}
(2)
\begin{align*} \Li_{0}(z) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{0}}\\ & =z\sum_{k=0}^{\infty}z^{k}\\ & =\frac{z}{1-z} \end{align*}
(3)
\begin{align*} \Li_{1}(z) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(z\right)^{k}}{k}\\ & =-\log(1-z) \end{align*}
(4)
\begin{align*} \Li_{s}(1) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1^{k}}{k^{s}}\\ & =\zeta(s) \end{align*}
(5)
\begin{align*} \Li_{s}(-1) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{s}}\\ & =-\eta(s) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 多重対数関数の基本的性質 |
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多重対数関数の漸化式
\[
Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}
\]
多重対数関数の定義
\[
Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}}
\]
巾関数と多重対数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}\Li_{n}\left(z\right)dz=\frac{\left(-1\right)^{n}z^{\alpha+1}}{\left(\alpha+1\right)^{n}}\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{k}\left(\alpha+1\right)^{k-1}\Li_{k}\left(z\right)\right)+\frac{z}{\alpha+2}F\left(1,\alpha+2;\alpha+3;z\right)\right\}
\]