偶数ゼータの通常型母関数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)\]
ζ(2)の値
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)\]
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)\]
チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)\]
チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right)\]
チェビシェフの微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0\]
チェビシェフ多項式の奇遇性
\[T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\]
第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[T_{n}(\cos t)=\cos(nt)\]
2項変換と交代2項変換の逆変換
\[a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}\]
三角関数と双曲線関数の対数の積分
\[\int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{}\]
三角関数と双曲線関数の対数
\[\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C\]
三角関数の積
\[\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}\]
偶数と奇数の2重階乗
\[\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\]