対数関数のn回積分
対数関数のn回積分
\[
\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!}
\]
\(n=0\)のとき
明らかに成立。
\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} \left(\log x\right)^{(-(k+1))} & =\int\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\int\frac{1}{x}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \end{align*}
となるので\(n=k+1\)でも成立
(*)
故に与式は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 対数関数のn回積分 |
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第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[
\Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt
\]
コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*}
& a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\
& a\rightarrow b\rightarrow c\\
& \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c
\end{align*}
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)
\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)
\]