対数関数のn回積分
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\(n=0\)のとき
明らかに成立。\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} \left(\log x\right)^{(-(k+1))} & =\int\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\int\frac{1}{x}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成立(*)
故に与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 対数関数のn回積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kgwgsfey/ |
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写像の制限と拡張の定義
\[
f|_{A}=f\circ i_{A}
\]
写像の直和・直積の定義
\[
\left(f_{1}\oplus f_{2}\right)\left(x\right)=\begin{cases}
f_{1}\left(x\right) & x\in X_{1}\setminus X_{2}\\
f_{2}\left(x\right) & x\in X_{2}\setminus X_{1}\\
f_{1}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right)=f_{2}\mid_{X_{1}\cap X_{2}}\left(x\right) & x\in X_{1}\cap X_{2}
\end{cases}
\]
写像・対応のグラフの定義
\[
G\left(f\right)=\left\{ \left(x,f\left(x\right)\right)\in X\times Y;x\in X\right\}
\]
写像・対応の相等の定義
\[
f=g
\]