対数関数のn回積分
対数関数のn回積分
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\(n=0\)のとき
明らかに成立。\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} \left(\log x\right)^{(-(k+1))} & =\int\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\int\frac{1}{x}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成立(*)
故に与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 対数関数のn回積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kgwgsfey/ |
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選択関数と選択公理の定義
\[
\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
多重階乗の階乗表示
\[
\left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!}
\]