ファンデルモンドの畳み込み定理と第1引数の畳み込み
\[ \sum_{j=0}^{k}C(x,j)C(y,k-j)=C(x+y,k)\]
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)\]
2項係数の総和
\[\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}\]
パスカルの法則
\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)\]
2項係数の1項間漸化式
\[ C(x+1,y)=\frac{x+1}{x+1-y}C(x,y)\]
ガンマ関数の極限問題
\[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}\]
ガンマ関数の半整数値
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数の微分
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)\]
ガンマ関数の1/2値
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[ \Gamma(n+1)=n!\]
ガンマ関数の漸化式
\[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\]
積分問題
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[ \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[ \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\]
e^(ikx)の和
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の1/2値
\[ P\left(-\frac{1}{2},n\right)=\frac{(-1)^{n}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の微分
\[ \frac{d}{dx}P(x,y) =P(x,y)\left\{ \psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right\} \]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の指数法則
\[ P(x,y+z)=P(x,y)P(x-y,z)\]
和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\[ P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[ \sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[ P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[ P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)\]