\(n\in\mathbb{Z}\)のとき以下のように部分分数分解又は展開が出来る。
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
\[
\frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{x(x+a)^{n-1}}-\frac{1}{(x+a)^{n}}\right)
\]
これより、
\begin{align*} \frac{1}{x(x+a)^{n}} & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{a^{k}}{x(x+a)^{k}}-\frac{a^{k-1}}{x(x+a)^{k-1}}\right\} \\ & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{a^{k-1}}{(x+a)^{k}}\right)\\ & =\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+a)^{k}}\right) \end{align*}
\begin{align*} \frac{1}{x(x+a)^{n}} & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{a^{k}}{x(x+a)^{k}}-\frac{a^{k-1}}{x(x+a)^{k-1}}\right\} \\ & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{a^{k-1}}{(x+a)^{k}}\right)\\ & =\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+a)^{k}}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 連続で出来る部分分数分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/w1ww4359/ |
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像と逆像の定義と性質
\[
f\left(A\right):=\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in A\right\}
\]
全域写像と部分写像の定義
\[
\Def\left(f\right)=\left\{ x;\exists y,\left(x,y\right)\in G\right\} =X
\]
定義域・値域・始域・終域の定義と対応の定義域・値域の性質
\[
\dom\left(f\right),\cod\left(f\right),\Def\left(f\right),\ran\left(f\right)
\]
定値写像の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)
\]