連続で出来る部分分数分解
\(n\in\mathbb{Z}\)のとき以下のように部分分数分解又は展開が出来る。
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
\[
\frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{x(x+a)^{n-1}}-\frac{1}{(x+a)^{n}}\right)
\]
これより、
\begin{align*} \frac{1}{x(x+a)^{n}} & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{a^{k}}{x(x+a)^{k}}-\frac{a^{k-1}}{x(x+a)^{k-1}}\right\} \\ & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{a^{k-1}}{(x+a)^{k}}\right)\\ & =\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+a)^{k}}\right) \end{align*}
\begin{align*} \frac{1}{x(x+a)^{n}} & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{a^{k}}{x(x+a)^{k}}-\frac{a^{k-1}}{x(x+a)^{k-1}}\right\} \\ & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{a^{k-1}}{(x+a)^{k}}\right)\\ & =\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+a)^{k}}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 連続で出来る部分分数分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/w1ww4359/ |
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三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
対数と偏角の基本
\[
\log z=\Log z+\log1
\]
分子が対数で分母が多項式の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=?
\]
ブラーマグプタの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}
\]