(1)

\(n=0\)のとき

\begin{align*} lhs & =P(x+y,0)\\ & =1 \end{align*}

\begin{align*} rhs & =\sum_{k=0}^{0}C(0,k)P(x,k)P(y,0-k)\\ & =C(0,0)P(x,0)P(y,0)\\ & =1 \end{align*}

となるので\(n=0\)で成立する。

\(n=k\)のとき成立すると仮定する

\begin{align*} P(x+y,n+1) & =P(x+y)(x+y-n)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)(x+y-n)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)(x-k)P(y,n-k)+\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)(y-(n-k))\\ & =\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k+1)P(y,n-k)+\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k+1)\\ & =\sum_{k=1}^{n+1}C(n,k-1)P(x,k)P(y,n+1-k)+\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n+1-k)\\ & =\sum_{k=0}^{n+1}C(n,k-1)P(x,k)P(y,n+1-k)+\sum_{k=0}^{n+1}C(n,k)P(x,k)P(y,n+1-k)\\ & =\sum_{k=0}^{n+1}\left\{ C(n,k-1)+C(n,k)\right\} P(x,k)P(y,n+1-k)\\ & =\sum_{k=0}^{n+1}\left\{ C(n+1,k)\right\} P(x,k)P(y,n+1-k) \end{align*}

となり、\(n=k+1\)のときも成立。

*

これより数学的帰納法により与式は成り立つ。

(2)

(1)と同じようにすればいい。