階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義
(1)下降階乗
\[ P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!} \]
(2)上昇階乗
\[ Q(x,y)=\frac{(x+y-1)!}{(x-1)!} \]
\(n\in\mathbb{Z}\)のとき、
(1)
\[ P(x,n)=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \]
(2)
\[ Q(x,n)=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k) \]
(1)
\begin{align*} P(x,n) & =\frac{x!}{(x-n)!}\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \end{align*}
(2)
\begin{align*} Q(x,n) & =\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x+n-1-k)\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x+k) \end{align*}
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タイトル | 階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義 |
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階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[
P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P(k,n)x^{k}=\frac{x^{n}n!}{(1-x)^{n+1}}
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[
\sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)
\]