階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義

(1)下降階乗

\[ P(x,y)=\frac{x!}{(x-y)!} \]

(2)上昇階乗

\[ Q(x,y)=\frac{(x+y-1)!}{(x-1)!} \]

\(n\in\mathbb{Z}\)のとき、

(1)

\[ P(x,n)=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \]

(2)

\[ Q(x,n)=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k) \]

(1)

\begin{align*} P(x,n) & =\frac{x!}{(x-n)!}\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x-k) \end{align*}

(2)

\begin{align*} Q(x,n) & =\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x+n-1-k)\\ & =\prod_{k=0}^{n-1}(x+k) \end{align*}

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階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の定義

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