logの2乗の級数表示

\(\log^{2}(1-x)\)は以下のように級数で表される。

\[ \log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1} \]

ここで、\(H_k\)は調和数である。

\[ \log(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k} \]

より、

\begin{align*} \log^{2}(1-x) & =\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{jk}x^{j+k}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\frac{1}{(t-k)k}x^{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\sum_{k=1}^{t-1}\left(\frac{1}{t-k}+\frac{1}{k}\right)\frac{x^{t}}{t}\\ & =\sum_{t=2}^{\infty}\frac{2H_{t-1}}{t}x^{t}\\ & =2\sum_{t=1}^{\infty}\frac{H_{t}}{t+1}x^{t+1} \end{align*}

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