ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
(1)ディガンマ関数の相反公式
\[ \psi(1-z)-\psi(z)=\pi\tan^{-1}(\pi z) \]
(2)ポリガンマ関数の相反公式
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
(3)
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\[ \lim_{x\rightarrow n}\frac{\psi(1-z)}{\Gamma(1-z)}=(-1)^{n}(n-1)! \]
(1)
\begin{align*} \psi(1-z) & =\frac{dz}{d(1-z)}\frac{d}{dz}\log\Gamma(1-z)\\ & =-\frac{d}{dz}\log\frac{\pi\sin^{-1}(\pi z)}{\Gamma(z)}\\ & =-\frac{d}{dz}\left\{ \log\pi-\log\sin(\pi z)-\log\Gamma(z)\right\} \\ & =\frac{d}{dz}\log\sin(\pi z)+\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)\\ & =\pi\tan^{-1}(\pi z)+\psi(z) \end{align*}
これより、
\[
\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\tan^{-1}(\pi z)
\]
(2)
\begin{align*} \psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right) & =\left(\frac{d}{d\left(1-z\right)}\right)^{n}\psi\left(1-z\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi\left(1-z\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dz^{n}}\left(\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\psi\left(z\right)\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\left\{ \psi^{\left(n\right)}\left(z\right)+\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right)\right\} \end{align*}
これより、
\[ \left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
(3)
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\begin{align*}
\lim_{z\rightarrow n}\frac{\psi(1-z)}{\Gamma(1-z)} & =\lim_{z\rightarrow n}\frac{\Gamma(z)}{\pi\sin^{-1}(\pi z)}\left\{ \psi(z)+\pi\tan^{-1}(\pi z)\right\} \\
& =\lim_{z\rightarrow n}\frac{\Gamma(z)\sin(\pi z)}{\pi}\left\{ H_{n-1}-\gamma+\pi\frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)}\right\} \\
& =\cos(\pi n)\Gamma(n)\\
& =(-1)^{n}(n-1)!
\end{align*}
ページ情報
タイトル | ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式 |
URL | https://www.nomuramath.com/chq8uidv/ |
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