ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
(1)ディガンマ関数の相反公式
\[ \psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right) \]
(2)ポリガンマ関数の相反公式
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[
\left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
(3)
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\[
\lim_{x\rightarrow n}\frac{\psi\left(1-z\right)}{\Gamma\left(1-z\right)}=\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)!
\]
(1)
\begin{align*}
\psi(1-z) & =\frac{dz}{d\left(1-z\right)}\frac{d}{dz}\log\Gamma\left(1-z\right)\\
& =-\frac{d}{dz}\log\frac{\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)}{\Gamma\left(z\right)}\\
& =-\frac{d}{dz}\left\{ \log\pi-\log\sin\left(\pi z\right)-\log\Gamma\left(z\right)\right\} \\
& =\frac{d}{dz}\log\sin\left(\pi z\right)+\frac{d}{dz}\log\Gamma\left(z\right)\\
& =\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\psi\left(z\right)
\end{align*}
これより、
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
(1)-2
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)=\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)
\]
の両辺を\(z\)で微分すると、
\[
\Gamma\left(z\right)\psi\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)-\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)\psi\left(1-z\right)=-\pi^{2}\sin^{-2}\left(\pi z\right)\cos\left(\pi z\right)
\]
整理すると、
\[
\left(\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)\right)\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)=\pi^{2}\sin^{-1}\left(\pi z\right)\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
\(\Gamma\left(z\right)\Gamma\left(1-z\right)=\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)\)なので、
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
となる。
(2)
\begin{align*}
\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right) & =\left(\frac{d}{d\left(1-z\right)}\right)^{n}\psi\left(1-z\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dz^{n}}\psi\left(1-z\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}\frac{d^{n}}{dz^{n}}\left(\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\psi\left(z\right)\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}\left\{ \psi^{\left(n\right)}\left(z\right)+\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right)\right\}
\end{align*}
これより、
\[
\left(-1\right)^{n}\psi^{\left(n\right)}\left(1-z\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\pi\frac{d^{n}}{dz^{n}}\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
(3)
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\begin{align*}
\lim_{z\rightarrow n}\frac{\psi\left(1-z\right))}{\Gamma\left(1-z\right))} & =\lim_{z\rightarrow n}\frac{\Gamma\left(z\right)}{\pi\sin^{-1}\left(\pi z\right)}\left\{ \psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)\right\} \\
& =\lim_{z\rightarrow n}\frac{\Gamma\left(z\right)\sin\left(\pi z\right)}{\pi}\left\{ H_{n-1}-\gamma+\pi\frac{\cos\left(\pi z\right)}{\sin\left(\pi z\right)}\right\} \\
& =\cos\left(\pi n\right)\Gamma\left(n\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)!
\end{align*}
ページ情報
タイトル | ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式 |
URL | https://www.nomuramath.com/chq8uidv/ |
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