一般化調和数の母関数

一般化調和数の母関数は以下のようになる。

\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{Li_{m}(z)}{1-z} \]

\(H_{n,m}\)は一般化調和数

\[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \]

である。

\(m=1\)のときは、\(Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、

\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \]

となる。

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{z^{k}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{t+j}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}z^{t}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{j}}{j^{m}}\\ & =\frac{1}{1-z}Li_{m}(z) \end{align*}

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一般化調和数の母関数

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https://www.nomuramath.com/v4tesgh5/

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