一般化調和数の母関数
一般化調和数の母関数は以下のようになる。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{Li_{m}(z)}{1-z} \]
\(H_{n,m}\)は一般化調和数
\[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \]
である。
\(m=1\)のときは、\(Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \]
となる。
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{z^{k}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{t+j}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}z^{t}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{j}}{j^{m}}\\ & =\frac{1}{1-z}Li_{m}(z) \end{align*}
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タイトル | 一般化調和数の母関数 |
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ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
ウォリス積分を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
ガンマ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1
\]