一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数は次のようになる。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z} \] \[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \] である。
\(m=1\)のときは、\(\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \] となる。
\(H_{n,m}\)は一般化調和数
\(\mathrm{Ein}\left(x\right)\)は整指数積分
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数は次のようになる。
(1)一般化調和数の通常型母関数
\(m\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z} \] \[ H_{n,m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \] である。
\(m=1\)のときは、\(\Li_{1}(z)=-\log(1-z)\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=\frac{-\log(1-z)}{1-z} \] となる。
(2)調和数の指数型母関数
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =e^{x}\mathrm{Ein}\left(x\right)\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{kk!} \end{align*}-
\(H_{n}\)は調和数\(H_{n,m}\)は一般化調和数
\(\mathrm{Ein}\left(x\right)\)は整指数積分
(1)
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{z^{k}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{t+j}}{j^{m}}\\ & =\sum_{t=1}^{\infty}z^{t}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{z^{j}}{j^{m}}\\ & =\frac{1}{1-z}\Li_{m}\left(z\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{x}H_{k}\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}H_{k}\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}dx\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}\left(H_{k+1}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}H_{k+1}\frac{x^{k+1}}{\left(k+1\right)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{\left(k+1\right)!}\\ & =\frac{d}{dx}\LHS-\frac{1}{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =e^{x}\left(1+\frac{d}{dx}\right)e^{-x}\LHS-\frac{e^{x}-1}{x}\\ & =e^{x}\int_{y}^{x}e^{-x}\frac{e^{x}-1}{x}dx+\LHS\left(x\rightarrow y\right)\\ & =e^{x}\int_{0}^{x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx\cmt{y=0}\\ & =e^{x}\mathrm{Ein}\left(x\right)\tag{*}\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{x}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{k!}dx\\ & =e^{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{kk!} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/v4tesgh5/ |
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ウォリス積分の値
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}
\]
対数の公式
\[
\log M-\log N=\log\frac{M}{N}
\]
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数
\[
B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
\]