偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1\]
偶数ゼータの通常型母関数
\[\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)\]
逆2乗の別表示
\[\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx\]
ζ(2)の値
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\]
対数のルート積分
\[\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C\]
相補誤差関数と虚数誤差関数の表示
\[erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}dt\]
誤差関数・相補誤差関数・虚数誤差関数の定義
\[erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\]
分母に2乗根と3乗根の積分
\[\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)\]
分母に(1+x²)²を含む積分
\[\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)\]
中央2項係数の総和
\[\sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}\]
冪乗の性質
\[\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}\]
対数と偏角の性質
\[\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1\]
複素指数関数の極形式
\[\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\]
対数と偏角の基本
\[\log z=\Log z+\log1\]
eの冪乗の基本
\[e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta}\]
複素数の冪関数の定義
\[\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}\]
2重和の変換
\[\sum_{m=a}^{\infty}\sum_{n=b}^{\infty}f(m,n)=\sum_{t=a+b}^{\infty}\sum_{s=a}^{t-b}f(s,t-s)\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)\]
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list1.append('c')
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}\]