第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式

第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式

(1)

\[ \left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0 \]

(2)

\[ \left(1-x^{2}\right)W_{n}''(x)-\left(2x+1\right)W_{n}'(x)+n(n+1)W_{n}(x)=0 \]

(1)

\[ W(x)=(-1)^{n}V_{n}(-x) \]

と(2)より、
\begin{align*} 0 & =\left(1-x^{2}\right)W_{n}''(x)-\left(2x+1\right)W_{n}'(x)+n(n+1)W_{n}(x)\\ & =(-1)^{n}\left[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(-x)+\left(2x+1\right)V_{n}'(-x)+n(n+1)V_{n}(-x)\right]\\ & =(-1)^{n}\left[\left(1-y^{2}\right)V_{n}''(y)-\left(2y-1\right)V_{n}'(y)+n(n+1)V_{n}(y)\right]\qquad,\qquad y=-x \end{align*}

これより、
\[ \left(1-y^{2}\right)V_{n}''(y)-\left(2y-1\right)V_{n}'(y)+n(n+1)V_{n}(y)=0 \]

(2)

第2種チェビシェフ多項式の微分方程式より、

\[ \left(1-x^{2}\right)U_{2n}''(x)-3xU_{2n}'(x)+4n(n+1)U_{2n}(x)=0 \]

\[ U_{2n}\left(x\right)=W_{n}(2x^{2}-1) \]

\[ U_{2n}'(x)=4xW_{n}'(2x^{2}-1) \]

\begin{align*} U_{2n}''(x) & =\frac{d}{dx}\left(4xW_{n}'(2x^{2}-1)\right)\\ & =4W_{n}'(2x^{2}-1)+16x^{2}W''(2x^{2}-1)\\ & =4\left(W_{n}'(2x^{2}-1)+4x^{2}W''(2x^{2}-1)\right) \end{align*}

より、

\begin{align*} 0 & =\left(1-x^{2}\right)U_{2n}''(x)-3xU_{2n}'(x)+4n(n+1)U_{2n}(x)\\ & =4\left[\left(1-x^{2}\right)\left(W_{n}'(2x^{2}-1)+4x^{2}W''(2x^{2}-1)\right)-3x^{2}W_{n}'(2x^{2}-1)+n(n+1)W_{n}(2x^{2}-1)\right]\\ & =4\left[4x^{2}\left(1-x^{2}\right)W''(2x^{2}-1)+\left(1-4x^{2}\right)W_{n}'(2x^{2}-1)+n(n+1)W_{n}(2x^{2}-1)\right]\\ & =4\left[\left(1-y^{2}\right)W''(y)-\left(2y+1\right)W_{n}'(y)+n(n+1)W_{n}(y)\right]\qquad,\qquad y=2x^{2}-1 \end{align*}

これより、
\[ \left(1-y^{2}\right)W''(y)-\left(2y+1\right)W_{n}'(y)+n(n+1)W_{n}(y)=0 \]

ページ情報

タイトル

第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式

URL

https://www.nomuramath.com/bvmahmve/

SNSボタン