チェビシェフ多項式の別表記
チェビシェフ多項式の別表記
(1)
\[ T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \](2)
\[ U_{n-1}(x)=\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}-\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \](1)
\begin{align*} T_{n}(x) & =\cos\left(n\cos^{\bullet}x\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(e^{in\cos^{\bullet}x}+e^{-in\cos^{\bullet}x}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(e^{i\cos^{\bullet}x}\right)^{n}+\left(e^{-i\cos^{\bullet}x}\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(\cos\cos^{\bullet}x+i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}+\left(\cos\cos^{\bullet}x-i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{n-1}(x) & =\frac{\sin(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(e^{in\cos^{\bullet}x}-e^{-in\cos^{\bullet}x}\right)\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(\cos\cos^{\bullet}x+i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}-\left(\cos\cos^{\bullet}x-i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}-\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | チェビシェフ多項式の別表記 |
| URL | https://www.nomuramath.com/f28r2kv8/ |
| SNSボタン |
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[
V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)
\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[
T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)
\]
第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[
T_{n}(\cos t)=\cos(nt)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0
\]