チェビシェフ多項式の別表記
チェビシェフ多項式の別表記
(1)
\[ T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \](2)
\[ U_{n-1}(x)=\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}-\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \](1)
\begin{align*} T_{n}(x) & =\cos\left(n\cos^{\bullet}x\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(e^{in\cos^{\bullet}x}+e^{-in\cos^{\bullet}x}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(e^{i\cos^{\bullet}x}\right)^{n}+\left(e^{-i\cos^{\bullet}x}\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(\cos\cos^{\bullet}x+i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}+\left(\cos\cos^{\bullet}x-i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{n-1}(x) & =\frac{\sin(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(e^{in\cos^{\bullet}x}-e^{-in\cos^{\bullet}x}\right)\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(\cos\cos^{\bullet}x+i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}-\left(\cos\cos^{\bullet}x-i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}-\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | チェビシェフ多項式の別表記 |
| URL | https://www.nomuramath.com/f28r2kv8/ |
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チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[
\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)
\]
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[
V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)
\]
チェビシェフ多項式の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}
\]
第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[
T_{n}(\cos t)=\cos(nt)
\]