逆2乗の別表示
逆2乗の別表示
\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]
\begin{align*} \frac{1}{(k+1)^{2}} & =\frac{1}{(k+1)}\int_{0}^{1}x^{k}dx\\ & =\frac{1}{(k+1)}\left(\left[x^{k+1}\log x\right]_{0}^{1}-\left(k+1\right)\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx\right)\\ & =-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \end{align*}
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タイトル | 逆2乗の別表示 |
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エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。
巾関数の積分表現
\[
\frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]