第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係

第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係

(1)

\[ V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x) \]

(2)

\[ W(-x)=(-1)^{n}V_{n}(x) \]

(3)

\[ W_{n}(\cos t)=U_{2n}\left(\cos\frac{t}{2}\right) \]

(4)

\[ U_{2n}\left(x\right)=W_{n}(2x^{2}-1) \]

(1)

\begin{align*} V_{n}(-x) & =\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\circ}(-x)\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\circ}(-x)\right)}\\ & =\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\pi-\cos^{\circ}x\right)\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\left(\pi-\cos^{\circ}x\right)\right)}\\ & =\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)\cos\left(-\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\circ}x\right)-\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)\sin\left(-\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\circ}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)\cos\left(-\frac{1}{2}\cos^{\circ}x\right)-\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)\sin\left(-\frac{1}{2}\cos^{\circ}x\right)}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\circ}x\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\cos^{\circ}x\right)}\\ & =(-1)^{n}W_{n}(x) \end{align*}

(2)

\begin{align*} W_{n}(-x) & =(-1)^{n}(-1)^{n}W_{n}(-x)\\ & =(-1)^{n}V_{n}(x) \end{align*}

(3)

\begin{align*} W_{n}(\cos t) & =\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}t\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\left(2n+1\right)\frac{t}{2}\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\\ & =U_{2n}\left(\cos\frac{t}{2}\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} U_{2n}\left(x\right) & =U_{2n}\left(\cos\frac{t}{2}\right)\qquad,\qquad x=\cos\frac{t}{2}\\ & =W_{n}(\cos t)\\ & =W_{n}(2\cos^{2}\frac{t}{2}-1)\\ & =W_{n}(2x^{2}-1)\\ \end{align*}

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タイトル

第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係

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