第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
第3種チェビシェフ多項式
\[ V_{n}(\cos t)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}t\right)} \]
\[ V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\circ}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\circ}x\right)} \]
第4種チェビシェフ多項式
\[ W_{n}(\cos t)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}t\right)} \]
\[ W_{n}(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\circ}x\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\cos^{\circ}x\right)} \]
ページ情報
タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/yd2na8ru/ |
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- チェビシェフ多項式の漸化式\[ T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x) \]
- チェビシェフ多項式の級数表示\[ T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right) \]
- (*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式\[ T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}} \]
- 第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性\[ \int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn} \]
- チェビシェフ多項式の直交性\[ \int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right) \]