第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
(1)
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]
(2)
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \]
(1)
加法定理より、
\[ \cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t\mp\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin t \]
となるので、
\[ \cos\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\cos\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \]
これより、
\[ V_{k+1}(\cos t)\cos\frac{t}{2}=2V_{k}(\cos t)\cos\frac{t}{2}\cos t-V_{k-1}(\cos t)\cos\frac{t}{2} \]
となるので、
\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、
\[ \sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(t\right)\pm\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin\left(t\right) \]
となるので、
\[ \sin\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\sin\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \]
これより、
\[ W_{k+1}(\cos t)\sin\frac{t}{2}=2W_{k}(\cos t)\sin\frac{t}{2}\cos t-W_{k-1}(\cos t)\sin\frac{t}{2} \]
となるので、
\[
W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x)
\]
ページ情報
タイトル | 第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/adz79nri/ |
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