第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式

第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式

(1)

\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]

(2)

\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \]

(1)

加法定理より、

\[ \cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t\mp\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin t \]

となるので、

\[ \cos\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\cos\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \]

これより、

\[ V_{k+1}(\cos t)\cos\frac{t}{2}=2V_{k}(\cos t)\cos\frac{t}{2}\cos t-V_{k-1}(\cos t)\cos\frac{t}{2} \]

となるので、

\[ V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x) \]

(2)

加法定理より、

\[ \sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\pm1\right)t\right)=\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos\left(t\right)\pm\cos\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\sin\left(t\right) \]

となるので、

\[ \sin\left(\left(k+\frac{3}{2}\right)t\right)=2\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)t\right)\cos t-\sin\left(\left(k-\frac{1}{2}\right)t\right) \]

これより、

\[ W_{k+1}(\cos t)\sin\frac{t}{2}=2W_{k}(\cos t)\sin\frac{t}{2}\cos t-W_{k-1}(\cos t)\sin\frac{t}{2} \]

となるので、
\[ W_{k+1}(x)=2xW_{k}(x)-W_{k-1}(x) \]

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タイトル

第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式

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https://www.nomuramath.com/adz79nri/

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