チェビシェフ多項式の積表示
チェビシェフ多項式の積表示
(1)
\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
(2)
\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \]
(1)
\(T_{n}(x)\)の零点は\(T_{n}(x)=\cos\left(n\cos^{\bullet}x\right)\)より、
\[
n\cos^{\bullet}x=\frac{2k-1}{2}\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n
\]
となるので、
\[ x=\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) \]
となる。
\(T_{n}(x)\)は\(n\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n}\)である。
これより、
\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
(2)
\(U_{n-1}(x)\)の零点は\(U_{n-1}(x)=\frac{\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)}{\sin\cos^{\bullet}x}\)より、
\[
n\cos^{\bullet}x=k\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n
\]
となるので、
\[ x=\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right) \]
となる。
\(U_{n-1}(x)\)は\(n-1\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n-1}\)である。
これより、
\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \]
ページ情報
タイトル | チェビシェフ多項式の積表示 |
URL | https://www.nomuramath.com/oto9puvz/ |
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