チェビシェフ多項式の積表示

チェビシェフ多項式の積表示

(1)

\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]

(2)

\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \]

(1)

\(T_{n}(x)\)の零点は\(T_{n}(x)=\cos\left(n\cos^{\circ}x\right)\)より、
\[ n\cos^{\circ}x=\frac{2k-1}{2}\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n \]

となるので、

\[ x=\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) \]

となる。

\(T_{n}(x)\)は\(n\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n}\)である。

これより、

\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]

(2)

\(U_{n-1}(x)\)の零点は\(U_{n-1}(x)=\frac{\sin\left(n\cos^{\circ}x\right)}{\sin\cos^{\circ}x}\)より、
\[ n\cos^{\circ}x=k\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n \]

となるので、

\[ x=\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right) \]

となる。

\(U_{n-1}(x)\)は\(n-1\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n-1}\)である。

これより、

\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \]

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チェビシェフ多項式の積表示

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