チェビシェフ多項式の積表示
チェビシェフ多項式の積表示
(1)
\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \](2)
\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \](1)
\(T_{n}(x)\)の零点は\(T_{n}(x)=\cos\left(n\cos^{\bullet}x\right)\)より、\[ n\cos^{\bullet}x=\frac{2k-1}{2}\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n \] となるので、
\[ x=\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) \] となる。
\(T_{n}(x)\)は\(n\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n}\)である。
これより、
\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
(2)
\(U_{n-1}(x)\)の零点は\(U_{n-1}(x)=\frac{\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)}{\sin\cos^{\bullet}x}\)より、\[ n\cos^{\bullet}x=k\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n \] となるので、
\[ x=\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right) \] となる。
\(U_{n-1}(x)\)は\(n-1\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n-1}\)である。
これより、
\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \]
ページ情報
タイトル | チェビシェフ多項式の積表示 |
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第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[
V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)
\]
チェビシェフ多項式の級数表示
\[
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)
\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]
チェビシェフの微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0
\]