対数のルート積分
\[ \int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C \]
\begin{align*} \int\log^{\frac{1}{2}}xdx & =x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{1}{2}\int\log^{-\frac{1}{2}}xdx\\ & =x\log^{\frac{1}{2}}x-\int e^{t^{2}}dt+C\cmt{t=\log^{\frac{1}{2}}x}\\ & =x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(t)+C\\ & =x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C \end{align*}
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タイトル | 対数のルート積分 |
URL | https://www.nomuramath.com/dvl6t0gy/ |
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- log₂3とlog₃5の大小比較\[ \log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5 \]
- tanの平方根の積分\[ \int\sqrt{\tan x}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x-\sqrt{2\tan x}+1\right)-\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x+\sqrt{2\tan x}+1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\circ}\left(\sqrt{2\tan x}-1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\circ}\left(\sqrt{2\tan x}+1\right)+C \]
- eのπ乗とπのe乗の大小比較\[ e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e} \]
- 分母に2乗根と3乗根の積分\[ \int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right) \]
- iのi乗\[ \Im\left(i^{i}\right)=0 \]