チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right)\]
チェビシェフの微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0\]
チェビシェフ多項式の奇遇性
\[T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\]
第1種・第2種チェビシェフ多項式の定義
\[T_{n}(\cos t)=\cos(nt)\]
2重根号の逆数の総和
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+\sqrt{k^{2}-1}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-1\right)\]
2項変換と交代2項変換の逆変換
\[a_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C(n,k)b_{k}\]
クロネッカーのデルタの表示
\[\delta_{mn}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k+m}}{(m-k)!(k-n)!}\]
クロネッカーのデルタの性質
\[f(n)\delta_{mn}=f(m)\delta_{mn}\]
三角関数と双曲線関数の対数の積分
\[\int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{}\]
三角関数と双曲線関数の対数
\[\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C\]
三角関数の積
\[\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}\]
偶数と奇数の2重階乗
\[\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\]
二項係数とベータ関数を含む極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi}\]
ガンマ関数を含む極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}=1\]
ウォリス積分を含む極限
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]
ウォリス積分の値
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}\]
ウォリス積分の同表示
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta\]
ウォリス積分の定義
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta\]
ウォリスの公式
\[\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}\]
２項係数とベータ関数の関係
\[B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}\]
ベータ関数の微分
\[\frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}\]
ガウスの乗法公式
\[\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)\]