複素指数関数の極形式
複素指数関数の極形式
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\begin{align*}
\alpha^{\beta} & =e^{\beta\log\alpha}\\
& =e^{\left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\arg\alpha\right)}\\
& =e^{\left(\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\\
& =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 複素指数関数の極形式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/glqo848l/ |
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負数の偏角と対数
\[
\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi
\]
複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]
複素共役の偏角と対数
\[
\Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z}
\]
複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]