複素指数関数の極形式
複素指数関数の極形式
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\begin{align*}
\alpha^{\beta} & =e^{\beta\log\alpha}\\
& =e^{\left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\arg\alpha\right)}\\
& =e^{\left(\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\\
& =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 複素指数関数の極形式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/glqo848l/ |
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対数と偏角の基本
\[
\log z=\Log z+\log1
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]