複素指数関数の極形式
複素指数関数の極形式
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\begin{align*} \alpha^{\beta} & =e^{\beta\log\alpha}\\ & =e^{\left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\arg\alpha\right)}\\ & =e^{\left(\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\\ & =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 複素指数関数の極形式 |
URL | https://www.nomuramath.com/glqo848l/ |
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- 複素共役の偏角と対数\[ \Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \]
- 偏角・対数の和と差\[ \Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \]
- 2乗のルート\[ \sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)} \]
- 偏角・対数と符号関数の関係\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \]