複素指数関数の極形式
複素指数関数の極形式
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\begin{align*} \alpha^{\beta} & =e^{\beta\log\alpha}\\ & =e^{\left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\arg\alpha\right)}\\ & =e^{\left(\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\\ & =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 複素指数関数の極形式 |
URL | https://www.nomuramath.com/glqo848l/ |
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- 2乗のルート\[ \sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)} \]
- 偏角の和と積の偏角\[ \Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right) \]
- 複素数の冪関数の定義\[ \alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha} \]
- 逆数の偏角と対数\[ \Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \]
- 偏角・対数と絶対値\[ \Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta \]