分母に2乗根と3乗根の積分
\[
\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)+C
\]
\begin{align*}
\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx & =\int\frac{1}{\left(x^{\frac{1}{6}}\right)^{3}+\left(x^{\frac{1}{6}}\right)^{2}}dx\\
& =6\int\frac{t^{5}}{t^{3}+t^{2}}dt\qquad,\qquad t=x^{\frac{1}{6}}\\
& =6\int\frac{t^{3}}{t+1}dt\\
& =6\int\left(t^{2}-t+1-\frac{1}{t+1}\right)dt\\
& =2t^{3}-3t^{2}+6t-6\log\left(1+t\right)+C\\
& =2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)+C
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母に2乗根と3乗根の積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dr9jf54q/ |
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分母に(1+x²)²を含む積分
\[
\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C
\]
気付かないと解けないかも
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(a^{2}+\log^{2}x\right)}dx=?
\]
ガンマ関数を2つ含む定積分でカタラン定数が出てきます
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Gamma\left(1-x\right)\Gamma\left(1+x\right)dx=?
\]
分母に正接がある関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?
\]