eの冪乗の基本
eの冪乗の基本
(1)
\[ e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta} \]
(2)
\[ e^{x+iy}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right) \]
(1)
\begin{align*} e^{\alpha+\beta} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\alpha+\beta\right)^{k}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}C(k,j)\frac{\alpha^{j}\beta^{k-j}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}\frac{\alpha^{j}\beta^{k-j}}{j!(k-j)!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\alpha^{j}\beta^{k}}{j!k!}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\alpha^{j}}{j!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\beta^{k}}{k!}\\ & =e^{\alpha}e^{\beta} \end{align*}
(2)
\begin{align*} e^{x+iy} & =e^{x}e^{iy}\cmt{\text{(1)より}}\\ & =e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | eの冪乗の基本 |
URL | https://www.nomuramath.com/yp1rdsbv/ |
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複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
複素共役の偏角と対数
\[
\Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z}
\]
複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]