eの冪乗の基本
eの冪乗の基本
(1)
\[ e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta} \]
(2)
\[ e^{x+iy}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right) \]
(1)
\begin{align*} e^{\alpha+\beta} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\alpha+\beta\right)^{k}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}C(k,j)\frac{\alpha^{j}\beta^{k-j}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}\frac{\alpha^{j}\beta^{k-j}}{j!(k-j)!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\alpha^{j}\beta^{k}}{j!k!}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\alpha^{j}}{j!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\beta^{k}}{k!}\\ & =e^{\alpha}e^{\beta} \end{align*}
(2)
\begin{align*} e^{x+iy} & =e^{x}e^{iy}\cmt{\text{(1)より}}\\ & =e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | eの冪乗の基本 |
URL | https://www.nomuramath.com/yp1rdsbv/ |
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偏角の和と積の偏角
\[
\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
逆数の偏角と対数
\[
\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}
\]