対数と偏角の基本
対数と偏角の基本
(1)定義
\[ \arg z=\Arg z+\arg1 \](2)定義
\[ \log z=\exp^{\bullet}z \](3)
\[ \log z=\ln\left|z\right|+i\arg z \](4)定義
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+i\Arg z \](5)
\[ \log1=i\arg1 \](6)
\[ \log z=\Log z+\log1 \](3)
\(w=e^{z}\)は\begin{align*} \left|w\right|e^{i\arg w} & =e^{\Re(z)}e^{i\Im(z)} \end{align*} これより、絶対値と偏角を比べると、
\[ \begin{cases} \Re(z)=\ln\left|w\right|\\ \Im(z)=\arg w \end{cases} \] となるので、
\begin{align*} \log w & =\exp^{\bullet}(w)\\ & =z\\ & =\Re(z)+i\Im(z)\\ & =\ln\left|w\right|+i\arg w \end{align*} これより、
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z \end{align*}
(5)
\begin{align*} \log1 & =\left\{ 2\pi ni;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\left\{ 2\pi n;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\arg1 \end{align*}(6)
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z\\ & =\ln\left|z\right|+i\left(\Arg z+\arg1\right)\\ & =\ln\left|z\right|+i\Arg z+i\arg1\\ & =\Log z+\log1 \end{align*}ページ情報
タイトル | 対数と偏角の基本 |
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複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]