対数と偏角の基本
対数と偏角の基本
(1)定義
\[ \arg z=\Arg z+\arg1 \](2)定義
\[ \log z=\exp^{\bullet}z \](3)
\[ \log z=\ln\left|z\right|+i\arg z \](4)定義
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+i\Arg z \](5)
\[ \log1=i\arg1 \](6)
\[ \log z=\Log z+\log1 \](3)
\(w=e^{z}\)は\begin{align*} \left|w\right|e^{i\arg w} & =e^{\Re(z)}e^{i\Im(z)} \end{align*} これより、絶対値と偏角を比べると、
\[ \begin{cases} \Re(z)=\ln\left|w\right|\\ \Im(z)=\arg w \end{cases} \] となるので、
\begin{align*} \log w & =\exp^{\bullet}(w)\\ & =z\\ & =\Re(z)+i\Im(z)\\ & =\ln\left|w\right|+i\arg w \end{align*} これより、
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z \end{align*}
(5)
\begin{align*} \log1 & =\left\{ 2\pi ni;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\left\{ 2\pi n;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\arg1 \end{align*}(6)
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z\\ & =\ln\left|z\right|+i\left(\Arg z+\arg1\right)\\ & =\ln\left|z\right|+i\Arg z+i\arg1\\ & =\Log z+\log1 \end{align*}ページ情報
タイトル | 対数と偏角の基本 |
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偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
偏角・対数と絶対値
\[
\Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta
\]
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]