(3)

\(w=e^{z}\)は
\begin{align*} \left|w\right|e^{i\arg w} & =e^{\Re(z)}e^{i\Im(z)} \end{align*} これより、絶対値と偏角を比べると、
\[ \begin{cases} \Re(z)=\ln\left|w\right|\\ \Im(z)=\arg w \end{cases} \] となるので、
\begin{align*} \log w & =\exp^{\bullet}(w)\\ & =z\\ & =\Re(z)+i\Im(z)\\ & =\ln\left|w\right|+i\arg w \end{align*} これより、
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z \end{align*}

(5)

\begin{align*} \log1 & =\left\{ 2\pi ni;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\left\{ 2\pi n;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\arg1 \end{align*}

(6)

\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z\\ & =\ln\left|z\right|+i\left(\Arg z+\arg1\right)\\ & =\ln\left|z\right|+i\Arg z+i\arg1\\ & =\Log z+\log1 \end{align*}

(7)

\begin{align*} m\log1+n\log1 & =2\pi im\mathbb{Z}+2\pi in\mathbb{Z}\\ & =2\pi i\left(m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}\right)\\ & =2\pi i\gcd\left(m,n\right)\mathbb{Z}\cmt{\because\text{ベズーの等式}}\\ & =\gcd\left(m,n\right)\log1 \end{align*}