位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合
\[A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}\]
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
\[A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\} \]
位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A\]
位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本
\[A^{i}\subseteq A\]
位相空間での閉集合系による位相
\[F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F}\]
位相空間での位相と開集合閉集合の定義
\[\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O}\]
距離空間での開集合と点列の収束
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon\]
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば正規空間
点と集合との距離の関係
\[d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}\]
『ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式』を更新しました。
集合同士が交わるならば距離は0
\[A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0\]
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} \]
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値
『ε近傍(開球)の定義』を更新しました。
ルベーグの被覆補題
\[\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U\]
距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間では連続と点列連続は同値
開球同士が交わるときの包含関係
\[B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)\]