距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算公理を満たす。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(x\in X\)に対し、\(x\)での基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)を\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)とおけば\(\mathcal{B}_{x}\)は高々可算濃度なので第1可算公理を満たす。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。
上限位相は第1可算公理を満たすが、距離化不可能である。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
タイトル | 距離空間ならば第1可算公理を満たす |
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距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
距離空間でコーシー列ならば有界列
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。